已知点M 在椭圆D :上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点,若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为的正三角形,(Ⅰ)求椭圆D的方程;(Ⅱ)设P是

已知点M 在椭圆D :上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点,若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为的正三角形,(Ⅰ)求椭圆D的方程;(Ⅱ)设P是

题型:山东省模拟题难度:来源:
已知点M 在椭圆D :上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点,若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为的正三角形,
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆D上的一点,过点P的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点Q,若,求直线l的斜率;
(Ⅲ)过点G(0,-2)作直线GK与椭圆N:左半部分交于H,K两点,又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R,S两点,试判断满足的直线GK是否存在?请说明理由。
答案
解:(Ⅰ)因为是边长为的正三角形,
所以圆M的半径,M到y轴的距离为
即椭圆的半焦距
此时点的坐标为
因为点在椭圆上,
所以

解得:
所求椭圆D的方程为
(Ⅱ)由题意可知直线l的斜率存在,
设直线斜率为k,直线l的方程为
则有
,由于P、Q、F三点共线,且
根据题意得
解得
又P在椭圆D上,
,解
综上,直线l的斜率为
(Ⅲ)由(Ⅰ)得:椭圆N的方程为…①,
由于
设直线GK的方程为…②,
则直线RS的方程为…③

联立①②消元得:
所以
所以, 

联立①③消元得:
所以

,化简得:
显然无解,
所以满足的直线GK不存在。
举一反三
如图,已知动直线l经过点P(4,0),交抛物线y2=2ax(a>0)于A,B两点,坐标原点O是PQ的中点,设直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k2
(1)证明:k1+k2=0;
(2)当a=2时,是否存在垂直于x轴的直线l′,被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,请求出直线l′的方程;若不存在,请说明理由。
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形(记为Q)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点,过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线l的斜率的取值范围。
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线C1:x2=2py (p ∈[1 ,4] )的切线l ,切点A在第二象限。
(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为的椭圆恰好经过A点,设切线l交椭圆的另一点为B,若设切线l,直线OA,OB的斜率为k,k1,k2
①试用斜率k表示k1+k2
②当k1+k2取得最大值时求此时椭圆的方程。
题型:湖北省模拟题难度:| 查看答案
已知点A(1,2),B(2,1),直线过坐标原点,且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是[     ]



题型:河北省月考题难度:| 查看答案
点P在曲线y=x3﹣x+2上移动,设点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:广西自治区月考题难度:| 查看答案
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