已知点,是平面内一动点,直线、斜率之积为。(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围。
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已知点,是平面内一动点,直线、斜率之积为。(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围。
题型:不详
难度:
来源:
已知点
,
是平面内一动点,直线
、
斜率之积为
。
(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点
作直线
与轨迹
交于
两点,线段
的中点为
,求直线
的斜率
的取值范围。
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)设
点的坐标为
,依题意,有
。
化简并整理,得
.
∴动点
的轨迹
的方程是
. …………………………4分
(Ⅱ)依题意,直线
过点
且斜率不为零,故可设其方程为
.
由方程组
消去
,并整理得
.
设
,
,
,
∴
∴
,
. ………………8分
①当
时,
; …………………………………………9分
②当
时,
.
.
且
.
综合①、②可知,直线
的斜率
的取值范围是
. ……………………12分
举一反三
如下图所示,在直角坐标系
中,射线
在第一象限,且与
轴的正半轴成定角
,动点
在射线
上运动,动点
在
轴的正半轴上运动,
的面积为
.
(Ⅰ)求线段
中点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)
是曲线
上的动点,
到
轴的距离之和为
,
设
为
到
轴的距离之积.问:是否存在最大的常数
,
使
恒成立?若存在,求出这个
的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
的半径为
,从圆
外一点
引切线
和割线
,
圆心
到
的距离为
,
,则切线
的长为
。
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
焦点
恰好是双曲线
的右焦点,且两条曲线交点的连线过点
,则该双曲线的离心率为
.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的中心在原点,焦点在
轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
,离心率为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过点
作直线
交
于
、
两点,试问:在
轴上是否存在一个定点
,使
为定值?若存在,求出这个定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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)
已知
、
是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆的右焦点
作直线
l
交椭圆于
A
、
B
两点,交y轴于
M
点,若
,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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