解法一:依题意,记B(-1,b) (b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得. ① ——4分
依题设,点C在直线AB上,故有 . ——6分 由 x-a≠0,得 . ② 将②式代入①代得 , 整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0. ——9分 若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0<x<a); 若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式. 综上得点C的轨迹方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0≤x<a). ——10分 ∵a≠1, ∴ (0≤x<a). ③ ——12分 由此知,当0<a<1时,方程③表示椭圆弧段; 当a>1时,方程③表示双曲线一支的弧段. ——14分 解法二:如图,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x轴,E是垂足. (ⅰ)当|BD|≠0时,设点C(x,y),则0<x<a,y≠0. 由CE∥BD得 . ——3分 ∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD, ∴ 2∠COA=π-∠BOD. ∵ ——6分 . ∴ 整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0<x<a). ——9分 (ⅱ) 当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式. 综合(ⅰ),(ⅱ),得点C的轨迹方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2="0 " (0≤x<a). ——10分 以下同解法一. |