（本小题满分15分）如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结P

题型：不详难度：来源：

（本小题满分15分）如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．

答案

(Ⅰ) (Ⅱ)网略

解析

（1）由题意，得a =，e =，∴c =1，∴b²=1．
所以椭圆C的标准方程为…… 6分
（2）∵P(－1，1)，F(1，0)，∴，∴．所以直线OQ的方程为y =2x．10分
又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q(2，4)，所以．
又，所以，即OP⊥PQ．故直线PQ与圆O相切．… 15分