设A(x1,y1),B(x2,y2),A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离 d=|x1+|=x1+,由双曲线的定义,=e=,∴|AF1|=(x1+)=x1+2, 同理,|BF1|=x2+2,∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为:y=k(x─), 由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0, ∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得 |F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+ ∴|F1A|·|F1B|>; (2)当直线AB垂直于x轴时,容易算出|AF2|=|BF2|=, ∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|= 由(1), (2)得:当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值 |