抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点
题型:不详难度:来源:
抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足. (Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上; (Ⅲ)当=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围. |
答案
(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为. (Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为. 点和点的坐标是方程组的解.将②式代入①式得,于是,故 ③ 又点和点的坐标是方程组的解.将⑤式代入④式得.于是,故. 由已知得,,则. ⑥ 设点的坐标为,由,则. 将③式和⑥式代入上式得,即. ∴线段的中点在轴上. (Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为. 由③式知,代入得. 将代入⑥式得,代入得. 因此,直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ,. 于是,, . 因为钝角且、、三点互不相同,故必有. 求得的取值范围是或.又点的纵坐标满足,故当时,;当时,.即 |
解析
将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程,用韦达定理来求解.点评:解析几何解题思维方法比较简单,但对运算能力的要求比较高,平时练习要注意提高自己的运算能力. |
举一反三
点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,. (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
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直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________ |
过椭圆的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( ) |
已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来,求|F1A|·|F1B|的最小值 |
如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线l1:x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示). |
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