已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;(2)若为圆C上任意一点,求的最大值与最小值;(3)从圆C外一
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已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;(2)若为圆C上任意一点,求的最大值与最小值;(3)从圆C外一
题型:不详
难度:
来源:
已知圆C:x
2
+y
2
+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;
(2)若
为圆C上任意一点,求
的最大值与最小值;
(3)从圆C外一点P(x,y)向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求当|PM|最小时的点P的坐标。
答案
(1)
或
;或
,或
;(2)最大值为-1,最小值为-7.;(3)当y=
即P(
)时,|PM|最小.
解析
试题分析:(1)当截距为0时,设出切线方程为y=kx,同理列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,得到切线的方程;当截距不为零时,根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等,设出切线方程x+y=b,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径r,列出关于b的方程,求出方程的解即可得到b的值,得到切线的方程;(2)设
,则
表示直线MA的斜率;其中A(1,-2)是定点;因为
在圆C上,所以圆C与直线MA有公共点,而直线MA方程为:y+2=
(x-1),则有:C点到直线MA的距离不大于圆C的半径,即:
,解得:
,即可求出
的最大值为和最小值;(3)根据圆切线垂直于过切点的半径,得到三角形CPM为直角三角形,根据勾股定理表示出点P的轨迹方程,由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值,然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离,把P代入动点的轨迹方程,两者联立即可此时P的坐标.
解:圆C的方程为:(x+1)
2
+(y-2)
2
=2
(1)圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时,切线过原点或切线的斜率为
;
当切线过原点时,设切线方程为:y=kx,相切则:
,得
;
当切线的斜率为
时,设切线方程为:y=-x+b,由相切得:
,
得b=1或b=5;故所求切线方程为:
或
;或
,或
(2)设
,则
表示直线MA的斜率;其中A(1,-2)是定点;
因为
在圆C上,所以圆C与直线MA有公共点,
而直线MA方程为:y+2=
(x-1),则有:C点到直线MA的距离不大于圆C的半径
即:
,解得:
,即
的最大值为-1,最小值为-7.
(3)由圆的切线长公式得|PM|
2
=|PC|
2
-R
2
=(x+1)
2
+(y-2)
2
-2;
由|PM|=|PO|得:(x+1)
2
+(y-2)
2
-2=x
2
+y
2
;即2x-4y+3=0, 即x=2y-
此时|PM|=|PO|=
所以当y=
即P(
)时,|PM|最小.
举一反三
(2013•重庆)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率
,过左焦点F
1
作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P"Q,求圆Q的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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设
分别为椭圆
的左、右焦点,斜率为
的直线
经过右焦点
,且与椭圆W相交于
两点.
(1)求
的周长;
(2)如果
为直角三角形,求直线
的斜率
.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C
1
和抛物线C
2
的焦点均在
轴上,C
1
的中心和C
2
的顶点均为原点,从每条曲线上各取两点,将其坐标记录于下表中:
3
-2
4
0
-4
(1)求曲线C
1
,C
2
的标准方程;
(2)设直线
与椭圆C
1
交于不同两点M、N,且
。请问是否存在直线
过抛物线C
2
的焦点F?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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给定抛物线
,
是抛物线
的焦点,过点
的直线
与
相交于
、
两点,
为坐标原点.
(1)设
的斜率为1,求以
为直径的圆的方程;
(2)设
,求直线
的方程.
题型:不详
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|
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,第二次掷出的点数为
.试就方程组
(※)解答下列问题:
(1)求方程组没有解的概率;
(2)求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率..
题型:不详
难度:
|
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