已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)若直
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已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C. (1)求曲线C的方程; (2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程. |
答案
(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2). ∵OP⊥OQ,∴kOP•kOQ=-1. 当x≠0时,得•=-1,化简得x2=2y.(2分) 当x=0时,P、O、Q三点共线,不符合题意,故x≠0. ∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(4分) (2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在. 设直线l2的方程为y=kx+b,(5分) 由得x2-2kx-2b=0. ∵直线l2与曲线C相切, ∴△=4k2+8b=0,即b=-.(6分) 点(0,2)到直线l2的距离d==•(7分)=(+)(8分)≥×2(9分)=.(10分) 当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.(12分) ∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.(14分) |
举一反三
已知直线l1:2x+(m+1)y-2=0,直线l2:mx+3y-2=0,若l1∥l2,则m的值为( ) |
已知点A(-5,多)、B(1,2),过点C(-多,2),且与点A、B的距离相等的直线方程是( )A.x+4y-7=0 | B.4x-y+7=0 | C.x+4y-7=0或x+1=0 | D.x+4y-7=0或4x-y+7=0 |
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已知△ABC的顶点为A(1,3),B(3,1),C(-1,0). (I)求AB边所在直线的方程; (II)求△ABC的面积. |
倾斜角为30°,且经过点(0,1)的直线方程是( )A.x+y-=0 | B.x-y+=0 | C.x+y-1=0 | D.x-y+1=0 |
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