已知圆心为C的圆经过点A(-3,0)和点B(1,0)两点,且圆心C在直线y=x+1上.(1)求圆C的标准方程.(2)已知线段MN的端点M的坐标(3,4),另一端

已知圆心为C的圆经过点A(-3,0)和点B(1,0)两点,且圆心C在直线y=x+1上.(1)求圆C的标准方程.(2)已知线段MN的端点M的坐标(3,4),另一端

题型:不详难度:来源:
已知圆心为C的圆经过点A(-3,0)和点B(1,0)两点,且圆心C在直线y=x+1上.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知线段MN的端点M的坐标(3,4),另一端点N在圆C上运动,求线段MN的中点G的轨迹方程;
(3)是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦PQ,且以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在求出直线l的方程,若不存在说明理由.
答案
(1)设圆C的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2
由题意列方程组,





(-3-a)2+b2=r2
  (1-a)2+b2=r2
    b=a+1
,解得,a=-1,b=0,r=2
∴所求圆的方程为:(x+1)2+y2=4
(2)设N(x1,y1),G(x,y),
∵线段MN的中点是G,
∴由中点公式得





x1+3
2
=x
y1+4
2
=y





x1=2x-3
y1=2y-4

∵N在圆C上,∴(2x-2)2+(2y-4)2=4,
即(x-1)2+(y-2)2=1,
∴点G的轨迹方程是(x-1)2+(y-2)2=1.
(3)设存在这样的直线l,并设直线方程为:y=x+b





(x+1)2+y2=4
y=x+b
⇒2x2+(2b+2)x+b2-3=0⇒x1x2=
b2-3
2

△=4(b+1)2-8(b2-3)>0⇒1-


2
<b<1+


2

同理可得:y1y2=
(b-1)2-4
2
②;
∵以PQ为直径的圆过原点O,
∴OP⊥OQ,即x1x2+y1y2=0,把①②代入化简得,b2-b-3=0
解得,b=


13
2

∴经检验存在两条这样的直线l:y=x+


13
2
举一反三
经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 ______.
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直线


3
x-y+1=0的倾斜角为(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°
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求过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程.
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已知直线L:x-2y+4=0,则直线在y轴上的截距为(  )
A.4B.-4C.-2D.2
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若直线L1:2x+y+1=0与直线L2:mx-2y-1=0平行,则m=(  )
A.4B.2C.-4D.-2
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