设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-p，其中p是不为零的常数。（1）证明：数列{an}是等比数列； （2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=b

题型：浙江省模拟题难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-p，其中p是不为零的常数。
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式。

答案

解：（1）因为S_n=4a_n-p（n∈N*），
则S_n-1=4a_n-1-p（n∈N*，n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得a_n=
由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，
解得
所以{a_n}是首项为公比为的等比数列。
（2）因为当p=3时，a₁=1，则
由（n=1，2…），得
当n≥2时，由累加得

当n=1时，上式也成立，
∴。