已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)直线l过点Q(1,0.5),
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已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称. (1)求圆C的方程; (2)直线l过点Q(1,0.5),截圆C所得的弦长为2,求直线l的方程; (3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由. |
答案
(1)由题意可得点C和点M(-2,-2)关于直线x+y+2=0对称,且圆C和圆M的半径相等,都等于r. 设C(m,n),由•(-1)=-1,且 ++2=0 求得 , 故原C的方程为 x2+y2=r2. 再把点P(1,1)代入圆C的方程,求得r=,故圆的方程为 x2+y2=2. (2)直线l过点Q(1,0.5),当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,截圆C得到的弦长等于2=2,满足条件. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-0.5=k(x-1),即 kx-y+0.5-k=0,则圆心C到直线l的距离d=, 再由弦长公式可得 2=2,解得k=-,故所求的直线方程为-x-y++=0,即 3x+4y-5=0. 综上可得,直线l的方程为 x=1,或 3x+4y-5=0. (3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点, 则得直线OP和AB平行,理由如下: 由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1). 由 ,得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0, 因为P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=.…(12分) 同理,所以xB=,由于AB的斜率kAB====1=kOP (OP的斜率),(15分) 所以,直线AB和OP一定平行. |
举一反三
(1)求过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程, (2)求经过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. |
已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点. (1)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程; (3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长. |
已知△ABC的两条高线所在的直线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A(1,2)求BC边所在直线的方程. |
如图,已知三角形的顶点为A(2,4),B(0,-2),C(-2,3),求: (Ⅰ)AB边上的中线CM所在直线的一般方程; (Ⅱ)求△ABC的面积. |
已知两直线x-ky-k=0与y=k(x-1)平行,则k的值为( ) |
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