与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点A．有且只有1个；B．有且只有2个；C．有且只有3个；D．有无数个。

题型：不详难度：来源：

与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点

A．有且只有1个；	B．有且只有2个；
C．有且只有3个；	D．有无数个。

答案

D

解析

解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如图所示空间直角坐标系，

并设该正方体的棱长为1，连接B₁D，并在B₁D上任取一点P，
因为 DB₁ =（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足为E，再作EF⊥A₁D₁，垂足为F，
则PF是点P到直线A₁D₁的距离．
所以PF²= a²+(1-a)²；
同理点P到直线AB、CC₁的距离的平方也是 a²+(1-a)²．
所以B₁D上任一点与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离相等的点有无数个．
故选D．