已知空间四边形ABCD中，AB =" BC" ="CD=" AD =" BD" = AC, E、F分别为AB、CD的中点，（1）求证：EF为AB和CD的公垂线（

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已知空间四边形ABCD中，AB =" BC" ="CD=" AD =" BD" = AC, E、F分别为AB、CD的中点，
（1）求证：EF为AB和CD的公垂线
（2）求异面直线AB和CD的距离

答案

解析

构造等腰三角形证明EF与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF
解；①连接BD和AC，AF和BF，DE和CE
设四边形的边长为a
∵AD = CD = AC = a
        ∴△ABC为正三角形
∵DF = FC
        ∴AF ^DC 且AF =
同理BF = A
        
        即△AFB为等腰三角形
在△AFB中，
∵AE = BE
        ∴FE ^AB
同理在△DEC中
EF^DC
        ∴EF为异面直线AB和CD的公垂线
②在△AFB中     
∵EF^AB且
∴                     
∵
∴EF为异面直线AB和CD的距离
∴AB和CD的距离为