已知经过点A(-2,0),且以(λ,1+λ)为方向向量的直线l1与经过点B(2,0),且以(1+λ,-3λ)为方向向量的直线l2相交于点P,其中λ∈R.(1)求

已知经过点A(-2,0),且以(λ,1+λ)为方向向量的直线l1与经过点B(2,0),且以(1+λ,-3λ)为方向向量的直线l2相交于点P,其中λ∈R.(1)求

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已知经过点A(-2,0),且以(λ,1+λ)为方向向量的直线l1与经过点B(2,0),且以(1+λ,-3λ)为方向向量的直线l2相交于点P,其中λ∈R.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l:y=kx+m(m≠0)与轨迹C相交于不同的两点M、N,且满足|BM|=|BN|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)当λ≠0且λ≠-1时,直线l1y=
1+λ
λ
(x+2)
,直线l2:y=
-3λ
1+λ
(x-2)

消参可得
x2
4
+
y2
12
=1

当λ=0时,直线l1:x=-2,直线l2:y=0,其交点为(-2,0),适合①;
当λ=-1时,直线l1:y=0,直线l2:x=2,其交点为(2,0),适合①;
∴点P的轨迹C的方程为
x2
4
+
y2
12
=1

(2)假设存在直线l:y=kx+m(m≠0)与轨迹C相交于不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2),且满足|BM|=|BN|.
令线段MN的中点M0(x0,y0),则BM0垂直平分MN
x12
4
+
y12
12
=1
x22
4
+
y22
12
=1

∴两式相减可得,kMN=-
3x0
y0
=k②
∵BM0⊥MN,∴kBM0=
y0
x0-2
=-
1
k

由②③可得x0=-1,y0=
3
k

∴M0(-1,
3
k

∵M0在椭圆C的内部,故
1
4
+
9
12k2
<1

∴|k|>1
∵M0(-1,
3
k
)在直线l上,
3
k
=-k+m

∴|m|=|k+
3
k
|≥2


3
,当且仅当|k|=


3
时取等号
∴存在直线l满足条件,此时m的取值范围为(-∞,-2


3
)∪(2


3
,+∞).
举一反三
在空间直角坐标系O-xyz中,设点M是点N(2,-3,5)关于坐标平面xoy的对称点,则线段MN的长度等于 ______.
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已知点A(2,0),B(1,4),M、N是y轴上的动点,且满足MN=4,△AMN的外心P在y轴上的射影为Q,则PQ+PB的最小值为______.
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定义:在平面直角坐标系xOy中,任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“直角距离”为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|;
已知点A(1,1),那么d(A,O)=______.
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已知⊙A:x2+y2=1,⊙B:(x-3)2+(y-4)2=4,P是平面内一动点,过P作⊙A、⊙B的切线,切点分别为D、E,若PE=PD,则P到坐标原点距离的最小值为______.
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已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使PM+PN取得最小值,则最小值为______.
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