已知点A(2,0),B(1,4),M、N是y轴上的动点,且满足MN=4,△AMN的外心P在y轴上的射影为Q,则PQ+PB的最小值为______.

已知点A(2,0),B(1,4),M、N是y轴上的动点,且满足MN=4,△AMN的外心P在y轴上的射影为Q,则PQ+PB的最小值为______.

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已知点A(2,0),B(1,4),M、N是y轴上的动点,且满足MN=4,△AMN的外心P在y轴上的射影为Q,则PQ+PB的最小值为______.
答案
设点M(0,t),则N(0,t-4)
根据点P是△AMN的外心设P(x,t-2)
而PM2=PA2,则x2+4=(x-2)2+(t-2)2
∴x=
(t-2)2
4
,y=t-2,从而得到点P的轨迹为y2=4x,焦点为F(1,0)
由抛物线的定义可知PF=PQ+1
因为PF+PB≥BF=4
所以PF+PB=PQ+1+PB≥4
即PQ+PB≥3
故PQ+PB的最小值为3
故答案为:3
举一反三
定义:在平面直角坐标系xOy中,任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“直角距离”为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|;
已知点A(1,1),那么d(A,O)=______.
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已知⊙A:x2+y2=1,⊙B:(x-3)2+(y-4)2=4,P是平面内一动点,过P作⊙A、⊙B的切线,切点分别为D、E,若PE=PD,则P到坐标原点距离的最小值为______.
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已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使PM+PN取得最小值,则最小值为______.
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已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于


2

(1)求圆C的方程;
(2)若圆心在第一象限,点P是圆C上的一个动点,求x2+y2的取值范围.
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已知A,B两点都在直线y=2x-1上,且A,B两点横坐标之差为


2
,则A,B之间的距离为______.
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