如图,圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程;⑵设点是圆上任意一点(不在坐标轴上),直线交轴于点,直线交直线于点,①若点坐标为,求弦的长;②求证:为定值

如图,圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程;⑵设点是圆上任意一点(不在坐标轴上),直线交轴于点,直线交直线于点,①若点坐标为,求弦的长;②求证:为定值

题型:不详难度:来源:
如图,圆与坐标轴交于点.
⑴求与直线垂直的圆的切线方程;
⑵设点是圆上任意一点(不在坐标轴上),直线轴于点,直线交直线于点
①若点坐标为,求弦的长;②求证:为定值.

答案
(1),(2)①:2,②:证明略.
解析

试题分析:(1)所求直线与垂直,则斜率为负倒数关系,因此可依方程设出所求直线方程,利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程;(2)①为常考点,利用弦心距,半径,弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解;②设直线的方程为:,把转化为含的代数式进行运算,也可设,把转化为含的代数式进行运算.
试题解析:,直线,⑴设所求切线方程为,所以
⑵①,圆心到直线的距离,所以弦的长为;(或由等边三角形亦可).
②解法一:设直线的方程为:存在,,则
,得,所以,将代入直线,得,即,则,得,所以为定值.
解法二:设,则,直线,则,直线,又交点,将,代入得,所以,得为定值.
举一反三
已知两圆相交于A(1,3)、B(-3,-1)两点,且两圆的圆心都在直线y=mx+n上,则m+n=
          
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与直线相交于两点,圆心为,若,则的值为(   )
A.8B.C.D.3

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已知为圆的两条互相垂直的弦,且垂足为,则四边形面积的最大值为(   )
A.5B.10C.15D.20

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直线与曲线有公共点,则的取值范围是         .
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已知直线,圆
(1)求直线被圆所截得的弦长;
(2)如果过点的直线与直线垂直,与圆心在直线上的圆相切,圆被直线分成两段圆弧,且弧长之比为,求圆的方程.
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