已知椭圆G:+y2=1.过轴上的动点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G上的点到直线的最大距离; (2)①当实数时,求A,B
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已知椭圆G:+y2=1.过轴上的动点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G上的点到直线的最大距离; (2)①当实数时,求A,B
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆G:
+y
2
=1.过
轴上的动点
(m,0)作圆x
2
+y
2
=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G上的点到直线
的最大距离;
(2)①当实数
时,求A,B两点坐标;
②将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
答案
(1)
;(2)①当
时点
的坐标分别为
;② 2
解析
试题分析:(1)设出与直线
平行的直线
,并与椭圆方程联立消去
(或
)得关于
的一元二次方程,令判别式为0解得
的值(应为2个值)。此时直线
与椭圆相切,分析可知
取负值时两直线距离最大,此距离即为椭圆上的点到直线
的最大距离。(2)①当
时,切线
的方程为
,代入椭圆方程可得
坐标。②分析可知
,由①可知当
时
。当
时,切线斜率存在设切线方程为
,根据切线与圆相切即圆心到直线的距离等于半径可得
与
间的关系式。再将切线方程与椭圆方程联立消去
(或
)得关于
的一元二次方程,可知判别式应大于0且可得根与系数的关系,根据弦长公式可得
,根据
与
间的关系式可消去一个量,可用基本不等式求最值。
(1)设直线
,带入椭圆方程
得,
得
,(4分)
由图形得直线
与直线
的距离为椭圆G上的点到直线
的最大距离为
(6分)
(2)①由题意知,
.
当
时,切线
的方程为
,点
的坐标分别为
,此时
.(8分)
当
时,同理可得
.(9分)
②当|m|>1时,设切线
的方程为
.
由
得
.(10分)
设
两点的坐标分别为
,则
.
又由
与圆
相切,得
,即
.(11分)
所以
.(12分)
由于当
时,
,所以
,
.
因为
,(13分)
且当
时,
,所以
的最大值为2.
举一反三
已知直线
,若对任意
,直线
与一定圆相切,则该定圆方程为
.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
,从点
发出的光线,经
轴反射后恰好经过圆心
,则入射光线的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知动圆
(
)
(1)当
时,求经过原点且与圆
相切的直线
的方程;
(2)若圆
恰在圆
的内部,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则( )
A.CE·CB=AD·DB
B.CE·CB=AD·AB
C.AD·AB=CD
2
D.CE·EB=CD
2
题型:不详
难度:
|
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如图,⊙O中弦AB、CD相交于点F,AB=10,AF=2.若CF∶DF=1∶4,则CF的长等于( )
A.
B.2 C.3 D.2
题型:不详
难度:
|
查看答案
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