已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切,求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,
题型:不详难度:来源:
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0). (1)若l1与圆相切,求l1的方程; (2)若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM·AN是否为定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由. |
答案
(1)x=1或3x-4y-3=0(2)6 |
解析
(1)①若直线l1的斜率不存在,即直线是x=1,符合题意. ②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=. ∴所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0. (2)(解法1)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0. 由得N.又直线CM与l1垂直, 由得M. ∴AM·AN=· ==6为定值. 故AM·AN是定值,且为6. (解法2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0. 由得N.再由 得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0. ∴x1+x2=,得M. 以下同解法1.
(解法3)用几何法 连结CA并延长交l2于点B,kAC=2,kl2=-, ∴CB⊥l2.如图所示,△AMC∽△ABN,则, 可得AM·AN=AC·AB=2·=6,是定值 |
举一反三
直线l过点(-4,0)且与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果AB=8,求直线l的方程. |
在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是____________. |
已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是________. |
直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若MN≥2,则k的取值范围是________. |
若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是________. |
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