已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点

题型：不详难度：来源：

已知t∈R，圆C：x²＋y²－2tx－2t²y＋4t－4＝0.
(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；
(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．

答案

（1）x²＋y²＋2x－2y－8＝0或x²＋y²－4x－8y＋4＝0（2）过定点(2，0)．

解析

(1)配方得(x－t)²＋(y－t²)²＝t⁴＋t²－4t＋4，其圆心C(t，t²)．依题意t－t²＋2＝0t＝－1或2.
即x²＋y²＋2x－2y－8＝0或x²＋y²－4x－8y＋4＝0为所求方程．
(2)整理圆C的方程为(x²＋y²－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t²＝0，令
故圆C过定点(2，0)．