在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a
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在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程; (2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值. |
答案
(1)(x-3)2+(y-1)2=9.(2)a=-1. |
解析
(1)曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为(0,1),(3±2,0).故可设圆心坐标为(3,t), 则有32+(t-1)2=2+t2. 解得t=1,则圆的半径为=3. 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组, 消去y得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0, 由已知可得判别式Δ=56-16a-4a2>0, 由根与系数的关系可得x1+x2=4-a,x1x2=,① 由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a.所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. 由①②可得a=-1,满足Δ>0,故a=-1. |
举一反三
已知圆(x+1)2+(y-1)2=1上一点P到直线3x-4y-3=0距离为d,则d的最小值为( ).A.1 | B. | C. | D.2 |
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已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( ).A.4 | B.3 | C.2 | D. |
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如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=________,AB=________.
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垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程( ).A.x+y-=0 | B.x+y+1=0 | C.x+y-1=0 | D.x+y+=0 |
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直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________. |
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