试题分析:(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90º,得c=2b…………1分 在Rt△AB1B2中,,从而.………………3分 因此所求椭圆的标准方程为: …………………………………………4分 (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,…………………………6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则y1、y2是上面方程的两根,因此, ,又,所以 ………………………………8分 由,得=0,即,解得; 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时,直线,此时,………………11分 当斜率存在时,设直线,则圆心到直线的距离, 因此t=,得………………………………………13分 联立方程组:得,由韦达定理知, ,所以, 因此. 设,所以,所以…15分 综上所述:△B2PQ的面积……………………………………………16分 点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法. |