已知椭圆的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点,MN是圆的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切. (Ⅰ)已知椭圆的离心率;(Ⅱ)若的最大

已知椭圆的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点,MN是圆的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切. (Ⅰ)已知椭圆的离心率;(Ⅱ)若的最大

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点,MN是圆的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切.
(Ⅰ)已知椭圆的离心率;
(Ⅱ)若的最大值为49,求椭圆C的方程.
答案
(Ⅰ) (Ⅱ)
解析
(I)先求出直线l的方程为,然后根据因为直线与圆相切,得到,从而可得到a,c的关系,进而求出e.
(II) 在(I)的基础上,可把椭圆方程转化为,这样根据条件建立关于c的方程即可求出椭圆方程,因而设、圆的圆心记为,则,根据其最大值为49,可求出c的值.
(Ⅰ)由题意可知直线l的方程为
因为直线与圆相切,所以,即
从而                                 …………………5分
(Ⅱ)设、圆的圆心记为,则
﹥0),又=
 . …………………8分
j当

k当
故舍去.
综上所述,椭圆的方程为.                …………………12分
举一反三
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