已知动点到点的距离,等于它到直线的距离.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点任意作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点和.设线段,的中点分别为,求证:直线恒过一个定
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已知动点到点的距离,等于它到直线的距离.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点任意作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点和.设线段,的中点分别为,求证:直线恒过一个定
题型:不详
难度:
来源:
已知动点
到点
的距离,等于它到直线
的距离.
(Ⅰ)求点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点
任意作互相垂直的两条直线
,分别交曲线
于点
和
.设线段
,
的中点分别为
,求证:直线
恒过一个定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求
面积的最小值.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
解析
题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用,具有一定的难度,解题时要认真审题,注意挖掘隐含条件,仔细解答.
(Ⅰ)设动点M的坐标为(x,y),由题意得
(x-1)
2
+y
2
=|x+1|,由此能求出点M的轨迹C的方程.
(Ⅱ)设A,B两点坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则点P的坐标由题意可设直线l
1
的方程为y=k(x-1)(k≠0),由
y
2
=4x
y=k(x-1)
得k
2
x2-(2k
2
+4)x+k
2
=0.再由根的判别式和根与系数的关系进行求解.
(Ⅲ)题题设能求出|EF|=2,所以△FPQ面积S由均值不等式得到。
解:(Ⅰ)设动点
的坐标为
,由题意得,
,化简得
,所以点
的轨迹
的方程为
(或由抛物线定义 解) ……4分
(Ⅱ)设
两点坐标分别为
,
,则点
的坐标为
.由题意可设直线
的方程为
,
由
得
.
.
因为直线
与曲线
于
两点,所以
,
.所以点
的坐标为
.
由题知,直线
的斜率为
,同理可得点
的坐标为
.
当
时,有
,此时直线
的斜率
.
所以,直线
的方程为
,
整理得
.于是,直线
恒过定点
;
当
时,直线
的方程为
,也过点
.
综上所述,直线
恒过定点
. …………10分
(Ⅲ)
,
面积
.
当且仅当
时,“
”成立,所以
面积的最小值为
.……13分
举一反三
若直线
和直线
的交点在圆(x-1)
2
+y
2
=1的内部,则
的取值范围是( )
A.(0,1)
B.
C.[
,0]
D.(
,0)
题型:不详
难度:
|
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(1)过点P(0,0),Q(4,2),R(-1,-3)三点的圆的标准方程式什么?
(2)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(-1,0)的距离的
倍,求:(1)动点M的轨迹方程;(2)根据
取值范围指出轨迹表示的图形.
题型:不详
难度:
|
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已知,圆C:
,直线
:
.
(1) 当a为何值时,直线
与圆C相切;
(2) 当直线
与圆C相交于A、B两点,且
时,求直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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若直线
过圆
的圆心,则
的值为 ( )
A.
1
B.1
C.3
D.
3
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆
有公共点,则
的取值范围是( )
A.
B.
或
C.
D.
或
题型:不详
难度:
|
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