已知圆M的方程为:x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N与圆M相切.(1)求圆N的方程;(2)圆N与x轴交于E、F两点,圆内的动点D使得|DE|
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已知圆M的方程为:x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N与圆M相切. (1)求圆N的方程; (2)圆N与x轴交于E、F两点,圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求·的取值范围; (3)过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点,且直线MA和直线MB的倾斜角互补,试判断直线MN和AB是否平行?请说明理由 |
答案
圆M的方程可整理为:(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心M(1,1),半径R=2. (1)圆N的圆心为(0,0), 因为|MN|=<2,所以点N在圆M内, 故圆N只能内切于圆M. 设其半径为r. 因为圆N内切于圆M, 所以有:|MN|=R-r, 即=2-r,解得r=. 所以圆N的方程为 x2+y2=2. (2)由题意可知:E(-,0),F(,0). 设D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列, 得|DO|2=|DE|×|DF|, 即:× =x2+y2, 整理得:x2-y2=1. 而=(--x,-y), =(-x,-y),· =(--x)(-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1,由于点D在圆N内,故有,由此得y2<,所以·∈[-1,0). (3)因为直线MA和直线MB的倾斜角互补,故直线MA和直线MB的斜率存在,且互为相反数,设直线MA的斜率为k,则直线MB的斜率为-k.故直线MA的方程为 y-1=k(x-1), 直线MB的方程为 y-1=-k(x-1), 由, 得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0. 因为点M在圆N上,故其横坐标x=1一定是该方程的解, 可得xA=, 同理可得:xB=, 所以kAB== = =1=kMN. 所以,直线AB和MN一定平行 |
解析
略 |
举一反三
圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为________ |
设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0. (1)求m的值; (2)求直线PQ的方程. |
直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A、B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为( ) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.x+y-3=0 |
设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为( ) |
从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线,则切线长为______ |
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