设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧,其弧长之比为3∶1,在满足(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程
题型:不详难度:来源:
设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧,其弧长之比为3∶1,在满足(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程. |
答案
设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则P到x轴,y轴的距离分别为|b|、|a|,由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P截x轴所得弦长为r=2b. ∴r2=2b2 ① 又由y轴截圆得弦长为2, ∴r2=a2+1 ② 由①、②知2b2-a2=1.又圆心到l:x-2y=0的距离d=, ∴5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1.当且仅当a=b时“=”号成立, ∴当a=b时,d最小为,由 得或由①得r=. ∴(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求. |
解析
同答案 |
举一反三
过圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线方程 |
.过点(2,1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2="1" | B.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=5 | C.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2="25" | D.(x-5)2+(y-5)2=5 |
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已知二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,则是方程表示圆的( )A.充分非必要条件 | B.必要非充分条件 | C.充要条件 | D.既非充分又非必要条件 |
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已知圆与y轴交于A、B两点,圆心为P,若. 求m的值. |
从点P(1,-2)引圆(x+1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长是( ) |
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