(Ⅰ)由题意得=, 即2=|x-4|, 两边平方得:4x2-8x+4+4y2=x2-8x+16. 得 +=1. 所以动点P(x,y)的轨迹C的方程为椭圆+=1. (Ⅱ)当m变化时,直线AE、BD相交于一定点N(,0). 证明:如图,
当m=0时,联立直线x=1与椭圆 +=1, 得A(1,)、B(1,-), 过A、B作直线x=4的垂线,得两垂足D(4,)、E(4,-). 由直线方程的两点式得:直线AE的方程为:2x+2y-5=0,直线BD的方程为:2x-2y-5=0, 方程联立解得x=,y=0,所以直线AE、BD相交于一点(,0). 假设直线AE、BD相交于一定点N(,0). 证明:设A(my1+1,y1),B(my2+1,y2),则D(4,y1),E(4,y2), 由消去x并整理得(3m2+4)y2+6my-9=0, △=36m2-4×(3m2+4)×(-9)=144m2+144>0>0, 由韦达定理得y1+y2=,y1y2=. 因为=(my1-,y1),=(,y2), 所以(my1-)×y2-y1×=my1y2-(y1+y2)=-×=0 所以,∥,所以A、N、E三点共线, 同理可证B、N、D三点共线,所以直线AE、BD相交于一定点N(,0). |