如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点

如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点

题型:不详难度:来源:
如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,的面积为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.

答案
(1);(2)存在满足条件的圆,其方程为.
解析

试题分析:(1)由题设知其中
,结合条件的面积为,可求的值,再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得的值,从而确定椭圆的标准方程;
(2)假设存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点;设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点为由圆的对称性可知,利用在圆上及确定交点的坐标,进而得到圆的方程.
解:(1)设,其中

从而.
从而,由,因此.
所以,故
因此,所求椭圆的标准方程为:

(2)如图,设圆心在轴上的圆与椭圆相交,是两个交点,,是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知

由(1)知,所以,再由,由椭圆方程得,即,解得.
时,重合,此时题设要求的圆不存在.
时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心,设

的半径
综上,存在满足条件的圆,其方程为:
举一反三
若圆的半径为1,其圆心与点关于直线对称,则圆的标准方程为_______.
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(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,四边形的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且.

(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)设不是的直径,的中点为,且,证明:为等边三角形.
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[选修4-1:几何证明选讲]
如图,是圆的直径,是圆上位于异侧的两点,证明

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圆心在直线上的圆轴的正半轴相切,圆轴所得弦的长为,则圆的标准方程为            .
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已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.
(1)求的轨迹方程;
(2)当时,求的方程及的面积
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