已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．

题型：不详难度：来源：

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．

答案

(x＋1)²＋(y＋1)²＝2，或(x－1)²＋(y－1)²＝2.

解析

设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.
故2|b|＝r，得r²＝2b²，
又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r²＝a²＋1，得2b²－a²＝1.
又因为P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，得d＝＝，即有a－2b＝±1，
综上所述得解得于是r²＝2b²＝2.
所求圆的方程是(x＋1)²＋(y＋1)²＝2，或(x－1)²＋(y－1)²＝2.