已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线。
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已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线。
题型:不详
难度:
来源:
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x
2
+y
2
=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线。
答案
当λ=1时,方程化为x=
,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点(
,0);
当λ≠1时,方程化为
它表示圆,圆心的坐标为(
),半径为
。
解析
试题分析:
思路分析:利用“直接法”求得(λ
2
-1)(x
2
+y
2
)-4λ
2
x+(1+4λ
2
)=0.
讨论λ=1和λ≠1的两种情况。
当λ=1时,方程化为x=
,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于
点(
,0);
当λ≠1时,方程化为
它表示圆,圆心的坐标为(
),半径为
。
解:设MN切圆于N,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|},式中常数λ>0.因为圆的半径|ON|=1,
所以|MN|
2
=|MO|
2
-|ON|
2
=|MO|
2
-1.
设点M的坐标为(x,y),则
,
整理得(λ
2
-1)(x
2
+y
2
)-4λ
2
x+(1+4λ
2
)=0.
经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.
当λ=1时,方程化为x=
,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于
点(
,0);
当λ≠1时,方程化为
它表示圆,圆心的坐标为(
),半径为
。
点评:中档题,求轨迹方程方法较多,本题利用直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
举一反三
以双曲线
的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知
均在⊙O上,且
为⊙O的直径。
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若⊙O的半径为
,
与
交于点
,且
、
为弧
的三等分点,求
的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,圆
的半径为3,从圆
外一点
引切线
和割线
,圆心
到
的距离为
,
,则切线
的长为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,
是
的切线,
过圆心
,
为
的直径,
与
相交于
、
两点,连结
、
. (1) 求证:
;
(2) 求证:
.
题型:不详
难度:
|
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如图
是圆
的直径,过
、
的两条弦
和
相交于点
,若圆
的半径是
,那么
的值等于________________.
题型:不详
难度:
|
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