(本小题满分14分)已知动圆过定点,且与直线相切,椭圆的对称轴为坐标轴,一个焦点为,点在椭圆上.(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程;(2)若动直线与轨迹在

(本小题满分14分)已知动圆过定点,且与直线相切,椭圆的对称轴为坐标轴,一个焦点为,点在椭圆上.(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程;(2)若动直线与轨迹在

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)已知动圆过定点,且与直线相切,椭圆的对称轴为坐标轴,一个焦点为,点在椭圆上.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程;
(2)若动直线与轨迹处的切线平行,且直线与椭圆交于两点,试求当面积取到最大值时直线的方程.
答案
(1) 轨迹的方程;椭圆方程为 (2)
解析

试题分析:(1)过圆心M作直线的垂线,垂足为H.
由题意得,|MH|=|MF|,由抛物线定义得,点M的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,其方程为....................3分
设椭圆方程为,将点A代入方程整理得解得 .故所求的椭圆方程为...............5分
(2)轨迹的方程为,即.
,所以轨迹处的切线斜率为,......7分
设直线方程为,代入椭圆方程得

因为 ,解得;............9分

所以
点A到直线的距离为................12分.
所以
当且仅当,即时等号成立,此时直线的方程为
..................................14分
点评:求轨迹方程的一般方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。
举一反三
,若线段是△外接圆的直径,则点的坐标是(   ).
A.(-8,6)B.(8,-6)C.(4,-6)D.(4,-3)

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圆心在轴上,且过两点A(1,4),B(3,2)的圆的方程为          .
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自点A(3,5)作圆C:的切线,则切线的方程为( )
A.B.
C.D.以上都不对

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(12分) 已知圆过两点,且圆心上.
(1)求圆的方程;
(2)设是直线上的动点,是圆的两条切线, 为切点,求四边形面积的最小值.
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圆C:x2+y2+2x+4y-3=0上到直线:x+y+1=0的距离为的点共有(  )
A.1个    B.2个    C.3个 D.4个

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