已知圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.

已知圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为55.求该圆的方程.

题型:不详难度:来源:
已知圆满足:
①截y轴所得的弦长为2;
②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;
③圆心到直线l:x-2y=0的距离为


5
5

求该圆的方程.
答案
设所求圆心为P(a,b),半径为r,则圆心到x轴,y轴的距离分别为|b|、|a|,
因圆P截y轴得弦长为2,由勾股定理得r2=a2+1,又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3:1,
∴劣弧所对的圆心角为90°,
故r=


2
b,即r2=2b2
∴2b2-a2=1①,
又∵P(a,b)到直线x-2y=0的距离为


5
5

|a-2b|


5
=


5
5

即a-2b=±1.②
解①②组成的方程组得:





a=1
b=1





a=-1
b=-1
,于是即r2=2b2=2,
∴所求的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.
举一反三
与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(  )
A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4
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圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(  )
A.x2+y2-x-2y-
1
4
=0
B.x2+y2+x-2y+1=0
C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+
1
4
=0
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