已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.(1)求△ABC的顶点B、C的坐标
题型:不详难度:来源:
已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0. (1)求△ABC的顶点B、C的坐标; (2)若圆M经过不同的三点A、B、P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程; (3)问圆M是否存在斜率为1的直线l,使l被圆M截得的弦为DE,以DE为直径的圆经过原点.若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由. |
答案
(1)∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,即为x轴, ∴直线AC的方程为y轴,即为直线x=0,又直线CD:2x-2y-1=0, 联立得:解得:∴C(0,-), 设B(b,0),又A(0,1), ∴AB的中点D(,), 把D坐标代入方程2x-2y-1=0得:b-1-1=0,解得:b=2, ∴B(2,0);(4分) (2)由A(0,1),B(2,0)可得: 线段AB中点坐标为(1,),kAB=-, ∴弦AB垂直平分线的斜率为2, 则圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,① 又圆M与x-y+3=0相切,切点为(-3,0),且x-y+3=0的斜率为1, ∴圆心所在直线方程的斜率为-1, 则圆心所在直线为y-0=-x+3),即y+x+3=0,② 联立①②, 解得:,∴M(-,-),(6分) ∴半径|MA|==,所以所求圆方程为(x+)2+(y+)2=, 即x2+y2+x+5y-6=0. (8分) (3)假设存在直线l,不妨设所求直线l方程为y=x+k,D(x1,y1),E(x2,y2) 联立方程得:2x2+(2k+6)x+k2+5k-6=0…(9分) 又△=(2k+6)2-8(k2+5k-6)>0得-7<k<3…(10分) x1x2=,x1+x2=-(k+3),y1y2=x1x2+k(x1+x2)+k2=…(11分) 依题意得 x1x2+y1y2=0…(12分) 故k2+2k-6=0解得:k1=-1+,k2=-1-…(13分) 经验证,满足题意. 故所求直线方程为:y=x-1+或y=x-1-…(14分) |
举一反三
给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点. (Ⅰ)设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程; (Ⅱ)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程. |
已知可行域的外接圆C1与x轴交于点A1、A2,椭圆C2以线段A1A2为长轴,离心率e= (1)求圆C1及椭圆C2的方程 (2)设椭圆C2的右焦点为F,点P为圆C1上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q,判断直线PQ与圆C1的位置关系,并给出证明. |
若圆C的一般方程是x2+y2+2x-4y-4=0,则其标准方程为______. |
已知点A(4,3)和圆C:(x-2)2+y2=4 (1)求圆C关于点A对称的圆C1的标准方程; (2)求过点A并且与圆C相切的直线方程. |
圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0)、B(-4,0),则圆C的方程为______. |
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