如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(I)若点C
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如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(I)若点C
题型:福建
难度:
来源:
如图,抛物线E:y
2
=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(I)若点C的纵坐标为2,求|MN|;
(II)若|AF|
2
=|AM|•|AN|,求圆C的半径.
答案
(I)抛物线E:y
2
=4x的准线l:x=-1,
由点C的纵坐标为2,得C(1,2),故C到准线的距离d=2,又|OC|=
5
,
∴|MN|=2
|OC
|
2
-
d
2
=
2
5-4
=2.
(II)设C(
y
20
4
,y
0
),则圆C的方程为(x-
y
20
4
)
2
+(y-y
0
)
2
=
y
40
16
+
y
20
,
即x
2
-
y
20
2
x
+y
2
-2y
0
y=0,由x=-1得y
2
-2y
0
y+1+
y
20
2
=0,
设M(-1,y
1
),N(-1,y
2
),则
△=4
y
20
-4(1+
y
20
2
)=2
y
20
-4>0
y
1
y
2
=
y
20
2
+1
,
由|AF|
2
=|AM|•|AN|,得|y
1
y
2
|=4,
∴1+
y
20
2
=4,解得y
0
=
±
6
,此时△>0
∴圆心C的坐标为(
3
2
,
±
6
),|OC|
2
=
33
4
,
从而|OC|=
33
2
.
即圆C的半径为
33
2
.
举一反三
若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( )
A.
(x-3
)
2
+(y-
7
3
)
2
=1
B.(x-2)
2
+(y-1)
2
=1
C.(x-1)
2
+(y-3)
2
=1
D.
(x-
3
2
)
2
+(y-1
)
2
=1
题型:山东
难度:
|
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已知圆C的方程为x
2
+y
2
-6x-2y+5=0,过点P(2,0)的动直线l与圆C交于P
1
,P
2
两点,过点P
1
,P
2
分别作圆C的切线l
1
,l
2
,设l
1
与l
2
交点为M,求证:点M在一条定直线上,并求出这条定直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知圆O的圆心在y轴上,截直线l
1
:3x+4y+3=0所得弦长为8,且与直线l
2
:3x-4y+37=0相切,求圆O的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
方程x
2
+y
2
-6x=0表示的圆的圆心坐标是______;半径是______.
题型:不详
难度:
|
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若圆经过点A(2,0),B(4,0),C(0,2),则这个圆的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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