平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,(1)求曲
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平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,(1)求曲
题型:湖北省高考真题
难度:
来源:
平面内与两定点A
1
(-a,0)、A
2
(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A
1
、A
2
两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,
(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(2)当m=-1时,对应的曲线为C
1
:对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C
2
.设F
1
、F
2
是C
2
的两个焦点.试问:在C
1
上,是否存在点N,使得△F
1
NF
2
的面积S=|m|a
2
。若存在,求tanF
1
NF
2
的值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)设动点为M,其坐标为(x,y),
当x≠±a时,由条件可得
,
即mx
2
-y
2
=ma
2
(x≠±a),
又A
1
(-a,0)、A
2
(a,0)的坐标满足mx
2
-y
2
=ma
2
,
故依题意,曲线C的方程为mx
2
-y
2
=ma
2
,
当m<-1时,曲线C的方程为
,C是焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,曲线C的方程为x
2
+y
2
=a
2
,C是圆心在原点的圆;
当-1<m<0时,曲线C的方程为
,C是焦点在x轴上的椭圆;
当m>0时,曲线C的方程为
,C是焦点在x轴上的双曲线.
(2)由(1)知,当m=-1时,C
1
的方程为x
2
+y
2
=a
2
;
当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C
2
的两个焦点分别为
,
对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C
1
上存在点N(x
0
,y
0
)(y
0
≠0)使得S=|m|a
2
的充要条件是
,
由①得0<|y
0
|≤a,由②得
,
当
,即
,或
时,存在点N,使S=|m|a
2
;
当
,即
,或
时,不存在满足条件的点N;
当
时,
由
,-y
0
),
可得
,
令
,
则由
,
可得
,
从而
,
于是由S=|m|a
2
,可得
,即
,
综上可得:当
时,在C
1
上,存在点N,使得S=|m|·a
2
,且tanF
1
NF
2
=2;
当
时,在C
1
上,存在点N,使得S=|m|·a
2
,且tanF
1
NF
2
=-2;
当
时,在C
1
上,不存在满足条件的点N.
举一反三
已知:点P是椭圆
上的动点,F
1
、F
2
是该椭圆的左、右焦点。点Q满足
与
是方向相同的向量,又
。
(1)求点Q的轨迹C的方程;
(2)是否存在该椭圆的切线l,使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆经过点F
2
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
题型:模拟题
难度:
|
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将函数y=
-2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ (0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则α的最大值的正切为( )。
题型:专项题
难度:
|
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以椭圆
的右焦点F为圆心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为( )。
题型:专项题
难度:
|
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若曲线C:x
2
+y
2
+2ax-4ay+5a
2
-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为
[ ]
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
题型:广东省模拟题
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,以C(1,-2)为圆心的圆与直线x+y+
+1=0相切。
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在,求出此直线方程,若不存在,请说明理由。
题型:0111 期末题
难度:
|
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