试题分析:(I)求函数的单调区间,首先求出的解析式,得,求函数的单调区间,可用定义,也可用导数法,由于本题含有对数函数,可通过求导来求,对求导得,分别求出与的范围,从而求出的单调区间;(II)若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值,可利用导数的几何意义表示出切线的斜率,根据恒成立,将分离出来得,即大于等于的最大值即可,这样求出的范围,从而得到的最小值;(III)函数的图象与的图象有四个不同的交点,即方程有四个不同的根,分离出后,转化成新函数的极大值和极小值问题,利用图像即可求出实数的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), == ∵a>0,由FF"(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函数. 由FF"(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数. ∴F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞). (Ⅱ)由FF"(x)= (0<x≤3)得 k= FF"(x0)= ≤(0<x0≤3)恒成立Ûa≥-x02+x0恒成立. ∵当x0=1时,-x02+x0取得最大值 ∴a≥,a的最小值为. (Ⅲ)若y=g()+m-1=x2+m-的图像与y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图像恰有四个不同交点,即x2+m-=ln(x2+1)有四个不同的根,亦即m=ln(x2+1)-x2+有四个不同的根.令= ln(x2+1)-x2+. 则GF"(x)=-x== 当x变化时GF"(x)、G(x)的变化情况如下表:
| (-¥,-1)
| (-1,0)
| (0,1)
| (1,+¥)
| GF"(x)的符号
| +
| -
| +
| -
| G(x)的单调性
| ↗
| ↘
| ↗
| ↘
| 由上表知:G(x)极小值=G(0)=, G(x)极大值=G(-1)=G(1)=ln2>0 画出草图和验证G(2)=G(-2)=ln5-2+<可知,当m∈(,ln2)时,y=G(x)与y=m恰有四个不同交点. ∴当m∈(,ln2)时,y=g()+m-1=x2+m-的图像与y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图像恰有四个不同交点. |