通过点A(0,a)的直线y=kx+a与圆(x-2)2+y2=1相交于不同的两点B、C,在线段BC上取一点P,使|BP|:|PC|=|AB|:|AC|,设点B在点

通过点A(0,a)的直线y=kx+a与圆(x-2)2+y2=1相交于不同的两点B、C,在线段BC上取一点P,使|BP|:|PC|=|AB|:|AC|,设点B在点

题型:不详难度:来源:
通过点A(0,a)的直线y=kx+a与圆(x-2)2+y2=1相交于不同的两点B、C,在线段BC上取一点P,使|BP|:|PC|=|AB|:|AC|,设点B在点C的左边,
(1)试用a和k表示P点的坐标;
(2)求k变化时P点的轨迹;
(3)证明不论a取何值时,上述轨迹恒过圆内的一定点.
答案
(1)设B(x1,y1),c(x2,y2),P(x,y),
依题意知,
|BP|
|PC|
=
x-x1
x2-x
|AB|
|AC|
=
x1
x2

x-x1
x2-x
=
x1
x2
,∴x=
2x1x2
x1+x2
…(4分)
由直线方程代入圆方程,整理得,(1+k2)x2+(2ak-4)x+(a2+3)=0
x1+x2=
4-2ak
1+k2
x1x2=
a2+3
1+k2
代入x=
2x1x2
x1+x2

x=
a2+3
2-ak
,y=k
a2+3
2-ak
+a=
3k+2a
2-ak
…(6分)
(2)由x,y的表达式中消去k得2x-ay-3=0,
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分.…(8分)
(3)证明:直线2x-ay-3=0恒过定点M(
3
2
,0),点M到圆心C(2,0)的距离|MC|=
1
2
<r=1,
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点  …(10分)
举一反三
(理科做)已知圆O:x2+y2=4,点M(1,a)且a>0.
(I )若过点M有且只有一条直线l与圆O相切,求a的值及直线l的斜率,
(II )若a=


2
,过点M的两条弦AC、BD互相垂直,记圆心O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2
①证明d12+d22为定值;
②求|AC|+|BD|的最大值.
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如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点,则点P(a,b)与圆的位置关系是(  )
A.P在圆外B.P在圆上C.P在圆内D.不能确定
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若函数f(x)=-
1
b
eax
的图象在x=0处的切线l与圆C:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆C的位置关系是______.
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已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则AP的最小值是______.
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若过点(3,1)总可以作两条直线和圆(x-2k)2+(y-k)2=k(k>0)相切,则k的取值范围是(  )
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