通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）2+y2=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，设点B在点
题型：不详难度：来源：
通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）2+y2=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，设点B在点C的左边，
（1）试用a和k表示P点的坐标；
（2）求k变化时P点的轨迹；
（3）证明不论a取何值时，上述轨迹恒过圆内的一定点． |
答案
（1）设B（x1，y1），c（x2，y2），P（x，y），
依题意知，=，=，
∴=，∴x=…（4分）
由直线方程代入圆方程，整理得，（1+k2）x2+（2ak-4）x+（a2+3）=0
由x1+x2=，x1x2=代入x=
得x=，y=k+a=…（6分）
（2）由x，y的表达式中消去k得2x-ay-3=0，
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分．…（8分）
（3）证明：直线2x-ay-3=0恒过定点M（，0），点M到圆心C（2，0）的距离|MC|=＜r=1，
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点 …（10分） |
举一反三
（理科做）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，a）且a＞0．
（I ）若过点M有且只有一条直线l与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，
（II ）若a=，过点M的两条弦AC、BD互相垂直，记圆心O到弦AC、BD的距离分别为d1、d2•
①证明d12+d22为定值；
②求|AC|+|BD|的最大值． |
| 如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（ ） |
| 若函数f(x)=-eax的图象在x=0处的切线l与圆C：x2+y2=1相离，则点P（a，b）与圆C的位置关系是______． |
| 已知点A（8，-6）与圆C：x2+y2=25，P是圆C上任意一点，则AP的最小值是______． |
若过点（3，1）总可以作两条直线和圆（x-2k）2+（y-k）2=k（k＞0）相切，则k的取值范围是（ ）| A．（0，2） | B．（1，2） | C．（2，+∞） | D．（0，1）∪（2，+∞） |
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