在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。 (1)求实数b的取值范围; (2
题型:江苏高考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。 (1)求实数b的取值范围; (2)求圆C的方程; (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论。 |
答案
解:(1)显然b≠0 否则,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2,0),这与题设不符 由b≠0知,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0,b),故它与x轴必有两个交点,从而方程x2+2x+b=0有两个不相等的实数根,因此方程的判别式4-4b>0,即b<1 所以b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)。 (2)由方程x2+2x+b=0,得 于是,二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与坐标轴的交点是 设圆C的方程为 因圆C过上述三点,将它们的坐标分别代入圆C的方程,得 解上述方程组,因b≠0,得 所以,圆C的方程为。 (3)圆C过定点,证明如下: 假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,并变形为
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y0=0,结合(*)式得
解得 经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C上,因此,圆C过定点。 |
举一反三
设双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两实根为x1,x2,则点P(x1,x2)满足( ) |
A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2外 C.必在圆x2+y2=2上 D.以上三种情况都有可能 |
若函数f(x)=eax的图象在x=0处的切线l与圆C:x2+y2=1相离,则P(a,b)与圆C的位置关系是( ) |
A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定 |
设椭圆(a>b>0)的离心率,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两根分别为x1、x2,则点P(x1,x2)在 |
A.圆x2+y2=2内 B.圆x2+y2=2上 C.圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能 |
设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则P(x1,x2)( ) |
A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2外 C.必在圆x2+y2=2上 D.以上三种情况都有可能 |
已知椭圆C:的离心率为,且曲线过点(1,), (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点不在圆x2+y2=内,求m的取值范围。 |
最新试题
热门考点