已知圆C:x2-2ax+y2-4y+a2=0(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为22时.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C

已知圆C:x2-2ax+y2-4y+a2=0(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为22时.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C

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已知圆C:x2-2ax+y2-4y+a2=0(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2


2
时.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.
答案
(I)∵圆C方程为x2-2ax+y2-4y+a2=0,
∴化成标准方程得(x-a)2+(y-2)2=4,
可得圆心为C(a,2),半径r=2.
由此可得C到直线l:x-y+3=0的距离为d=
|a-2+3|


2
=


2
2
|a+1|

∵直线l被圆C截得的弦长为2


2

∴根据垂径定理,可得


r2-d2
=


2



4-
1
2
(a+1)2
=


2

解得a=1或-3,
结合a>0,可得a=1(负值舍去);
(II)由(I)可得圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,
设过点(3,5)并与圆C相切的直线为m:y-5=k(x-3),
即kx-y-3k+5=0,
∵直线m与圆C相切,
∴点C到直线m的距离等于半径,
|k-2-3k+5|


k2+1
=2
,解之得k=
5
12

可得直线m方程为y-5=
5
12
(x-3),
化简得5x-12y+45=0.
又∵当经过点(3,5)的直线斜率不存在时,方程为x=3,也与圆C相切,
∴所求切线方程为x=3和5x-12y+45=0.
举一反三
已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0;
(1)若圆C的切线在x轴,y轴上的截距相等,求此切线方程;
(2)求圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程
(3)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P点的坐标.
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过点Q(-2,


21
)
作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设


OK
=


OA
+


OB
,求|


OK
|
的最小值(O为坐标原点).
(3)从圆O外一点M(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此时点M的坐标.
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过点A(1,3)作圆





x=2+cosθ
y=1+sinθ
(θ为参数)的切线,则切线方程是(  )
A.3x+4y-15=0B.4x+3y-13=0
C.3x+4y-15=0或y=3D.3x+4y-15=0或x=1
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过点(4,2)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(  )
A.3x+2y+4=0B.3x+2y-4=0C.3x-2y+4=0D.3x-2y-4=0
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n是正数,圆x2+y2-(4n+2)x-2ny+4n2+4n+1=0,当n变化时得到不同的圆,这些圆的公切线是(  )
A.y=0B.4x-3y-4=0
C.都不是D.y=0和4x-3y-4=0
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