已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(

已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(

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已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有
PB
PA
为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
答案
(1)设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,∵直线与圆相切,
|-b|


22+12
=3
,得b=±3


5

∴所求直线方程为y=-2x±3


5

(2)方法1:假设存在这样的点B(t,0),
当P为圆C与x轴左交点(-3,0)时,
PB
PA
=
|t+3|
2

当P为圆C与x轴右交点(3,0)时,
PB
PA
=
|t-3|
8

依题意,
|t+3|
2
=
|t-3|
8
,解得,t=-5(舍去),或t=-
9
5

下面证明点B(-
9
5
,0)
对于圆C上任一点P,都有
PB
PA
为一常数.
设P(x,y),则y2=9-x2
PB2
PA2
=
(x+
9
5
)
2
+y2
(x+5)2+y2
=
x2+
18
5
x+
81
25
+9-x2
x2+10x+25+9-x2
=
18
25
(5x+17)
2(5x+17)
=
9
25

从而
PB
PA
=
3
5
为常数.
方法2:假设存在这样的点B(t,0),使得
PB
PA
为常数λ,则PB22PA2
∴(x-t)2+y22[(x+5)2+y2],将y2=9-x2代入得,
x2-2xt+t2+9-x22(x2+10x+25+9-x2),
即2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0对x∈[-3,3]恒成立,





5λ2+t=0
34λ2-t2-9=0
,解得





λ=
3
5
t=-
9
5





λ=1
t=-5
(舍去),
所以存在点B(-
9
5
,0)
对于圆C上任一点P,都有
PB
PA
为常数
3
5
举一反三
在圆(x-3)2+(y-5)2=2的切线中,满足在两坐标轴上截距相等的直线共有(  )
A.2条B.3条C.4条D.5条
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过点P(2,0)引圆x2+y2-2x+6y+9=0的切线,切点为A、B,则直线AB的方程是______.
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与圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0,C2:x2+y2-14x-2y+14=0都相切的直线有(  )
A.1条B.2条C.3条D.4条
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已知圆M的圆心在直线x-2y+4=0上,且与x轴交于两点A(-5,0),B(1,0).
(Ⅰ)求圆M的方程;
(Ⅱ)求过点C(1,2)的圆M的切线方程.
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已知圆M:x2+y2+2x-4y+3=0,若圆M的切线过点(0,1),求此切线的方程.
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