已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=9,直线l:(m+1)x-y-2m-3=0(m∈R)(1)求证:无论m取什么实数,直线恒与圆交于两点;(2)求直线l被圆C
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已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=9,直线l:(m+1)x-y-2m-3=0(m∈R) (1)求证:无论m取什么实数,直线恒与圆交于两点; (2)求直线l被圆C所截得的弦长最小时的直线方程. |
答案
(1)∵l:m(x-2)+(x-y-3)=0, ∴直线l恒过的交点,即(2,-1), 将点(2,-1)代入圆C的方程得(2-1)2+(-1+2)2=2<9, ∴点(2,-1)在圆内, ∴无论m取什么值,直线恒与圆相交; (2)由垂径定理:()2=r2-d2(a表示弦长,r表示半径,d表示圆心到直线的距离), 当d越大的时候,弦长a越小, 根据垂线段最短可知,当l⊥CA时,直线l被圆C所截得的弦长最小, ∵A(2,-1),C(1,-2), ∴kCA=1, ∴kl=-1, ∴直线l的方程为y=-(x-2)-1,即x+y-1=0.
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举一反三
已知圆O:x2+y2=4,动点P(t,0)(-2≤t≤2),曲线C:y=3|x-t|.曲线C与圆O相交于两个不同的点M,N (1)若t=1,求线段MN的中点P的坐标; (2)求证:线段MN的长度为定值; (3)若t=,m,n,s,p均为正整数.试问:曲线C上是否存在两点A(m,n),B(s,p)(11),使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k(k>1)?若存在请求出所有的点A,B;若不存在请说明理由. |
过直线l:y=2x上一点P作圆C:x2+y2-16x-2y+63=o的切线l1,l2,若l1,l2关于直线l对称,则点P到圆心C的距离为______. |
若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则b的取值范围为______. |
已知圆O:和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于( )。 |
经过点M(2,-1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为( ) |
A.2x-y-5=0 B.2x+y+5=0 C.x+y=5 D.x+y+5=0 |
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