在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)若圆C被直线x-y+a=0截得的弦长为23,求a的值.
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在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)若圆C被直线x-y+a=0截得的弦长为23,求a的值.
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x
2
+2x-3与坐标轴的交点都在圆C上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C被直线x-y+a=0截得的弦长为
2
3
,求a的值.
答案
(I)曲线y=x
2
-2x-3与y轴的交点为A(0,-3),与x轴的交点为B(1,0)、D(-3,0).
∵线段BD的垂直平分线为x=-1,
∴设圆C的圆心为(-1,b),
由|AC|=|BC|,得(0+1)
2
+(-3-b)
2
=(1+1)
2
+b
2
,解得b=-1.
由此可得圆心C(-1,-1),
圆C的半径r=
(1-0
)
2
+(-1+3
)
2
=
5
,
因此,圆C的方程为(x+1)
2
+(y+1)
2
=5.
(II)∵直线x-y+a=0被圆C截得的弦长为
2
3
,
∴设点C到直线x-y+a=0的距离为d,
根据垂径定理得2
r
2
-
d
2
=
2
3
,
即
5-
d
2
=
3
,解得d=
2
(舍负).
∴点C(-1,-1)到直线x-y+a=0的距离为
|-1+1+a|
2
=
2
,
解得a=±2.
举一反三
设P(x,y)是曲线C:
x=-2+cosθ
y=sinθ
(θ
为参数,0≤θ<2π)上任意一点,则
y
x
的取值范围是( )
A.
[-
3
,
3
]
B.
(-∞,-
3
]∪[
3
,+∞)
C.
[-
3
3
,
3
3
]
D.
(-∞,-
3
3
]∪[
3
3
,+∞)
题型:不详
难度:
|
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把直线
y=
3
3
x
绕原点逆时针方向旋转,使它与圆
x
2
+
y
2
+2
3
x-2y+3=0
相切,则直线旋转的最小正角是( )
A.
π
3
B.
π
2
C.
2π
3
D.
5π
6
题型:不详
难度:
|
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已知点P(x,y)是曲线
y=
4-
x
2
上的动点,则点P到直线y=x+3的距离的最大值是______.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=x+b与曲线y=3-
4x
-x
2
有两个公共点,则b的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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直线3x-4y+3=0被圆x
2
+y
2
=1所截截得的弦长为( )
A.
4
5
B.
8
5
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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