已知:以点C(t,2t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O、B,其中O为原点,(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2
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已知:以点C(t,2t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O、B,其中O为原点,(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2
题型:不详
难度:
来源:
已知:以点
C(t,
2
t
)(t∈R,t≠0)
为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O、B,其中O为原点,
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
答案
(1)∵圆C过原点O,
∴
O
C
2
=
t
2
+
4
t
2
,
设圆C的方程是
(x-t
)
2
+(y-
2
t
)
2
=
t
2
+
4
t
2
,
令x=0,得
y
1
=0,
y
2
=
4
t
,
令y=0,得x
1
=0,x
2
=2t
∴
S
△OAB
=
1
2
OA×OB=
1
2
×|
4
t
|×|2t|=4
,
即:△OAB的面积为定值;
(2)∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分线段MN,
∵k
MN
=-2,∴
k
oc
=
1
2
,
∴直线OC的方程是
y=
1
2
x
,
∴
2
t
=
1
2
t
,解得:t=2或t=-2,
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),
OC=
5
,
此时C到直线y=-2x+4的距离
d=
1
5
<
5
,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点,
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),
OC=
5
,
此时C到直线y=-2x+4的距离
d=
9
5
>
5
,
圆C与直线y=-2x+4不相交,
∴t=-2不符合题意舍去,
∴圆C的方程为(x-2)
2
+(y-1)
2
=5.
举一反三
设实数x,y满足x
2
+(y-1)
2
=1,则x+y+d≥0恒成立,则d∈( )
A.
[
2
-1,+∞)
B.
(-∞,
2
-1]
C.
[
2
+1,+∞)
D.
(-∞,
2
+1]
题型:不详
难度:
|
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直线y=kx+1和圆x
2
+y
2
=4的位置关系是( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.直线经过圆的圆心
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知以O为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m),(m∈R)恒有公共点,且要求使圆O的面积最小.
(1)写出圆O的方程;
(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内动点P使
|
PA
|
、
|
PO
|
、
|
PB
|
成等比数列,求
PA
•
PB
的范围;
(3)已知定点Q(-4,3),直线l与圆O交于M、N两点,试判断
QM
•
QN
×tan∠MQN
是否有最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线l的方程,若不存在,给出理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,PAB、PC分别是圆O的割线和切线(C为切点),若PA=AB=3,则PC的长为( )
A.
6
2
B.6
C.
3
2
D.3
题型:不详
难度:
|
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直线y=kx+2与圆x
2
+y
2
+2x=0只在第二象限有公共点,则实数k的取值范围为( )
A.[
3
4
,1]
B.[
3
4
,1)
C.[
3
4
,+∞)
D.(-∞,1)
题型:不详
难度:
|
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