选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为x=12+tcosαy=tsi

选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为x=12+tcosαy=tsi

题型:河南模拟难度:来源:
选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为





x=
1
2
+tcosα
y=tsinα
(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρ=
2cosθ
sin2θ

(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程:
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.
答案
(I )由ρ=
2cosθ
sin2θ
,得(ρsinθ)2=2ρcosθ,化为直角坐标方程为y2=2x.
(II)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-2tcosα-1=0
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则
t1+t2=
2cosα
 sin2α
,t1t2=-
1
sin2α

∴|AB|=|t1-t2|=


(t1+t2)2-4t1t2
=


4cos2α
sin4α
+
4
sin2α
=
2
sin2α

α=
π
2
时,sin2α取得最大值1,从而|AB|的最小值为2.
举一反三
(
a
c
b
c
)
在圆x2+y2=1上,则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=2相交所得弦的长为______.
题型:天津一模难度:| 查看答案
已知圆C:





x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数)和直线θl:





x=2++tcosα
y=


3
+tsinα
(其中t为参数,α为直线l的倾斜角)
(1)当α=
3
时,求圆上的点到直线l的距离的最小值;
(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
直线l:y=kx-3k与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是(  )
A.l与C相交B.l与C相切
C.l与C相离D.以上三个选项均有可能
题型:不详难度:| 查看答案
若直线y=x+m与圆x2+y2+4x+2=0有两个不同的公共点,则实数m的取值范围是(  )
A.(2-


2
,2+


2
B.(-4,0)C.(-2-


2
,-2+


2
D.(0,4)
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
直线x+y=5和圆O:x2+y2-4y=0的位置关系是(  )
A.相离B.相切
C.相交不过圆心D.相交过圆心
题型:石景山区一模难度:| 查看答案
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