已知圆x2+y2-2ax-6ay+10a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线L:y=x+m.(1)若a=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值;(

已知圆x2+y2-2ax-6ay+10a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线L:y=x+m.(1)若a=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值;(

题型:不详难度:来源:
已知圆x2+y2-2ax-6ay+10a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线L:y=x+m.
(1)若a=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值;
(2)若m=2,求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值;
(3)若直线L是圆心C下方的切线,当a变化时,求实数m的取值范围.
答案
圆C的方程可化为(x-a)2+(y-3a)2=4a
∴圆心C(a,3a0,半径r=2


a

(1)若a=2,则C(2,6),r=2


2

∵弦AB过圆心时最长
∴|AB|max=4


2

(2)若m=2,则圆心C(a,3a)到直线x-y+2=0的距离
d=
|-2a+2|


2
=


2
|a-1|
,r=2


a

直线与圆相交,∴d<r,∴a2-4a+1<0且0<a≤4,
a∈(2-


3
,2+


3
)

又|AB|=2


r2-d2
=2


-2a2+8a-2
=2


-2(a-2)2+6

∴当a=2时,|AB|max=2


6

(3)圆心C(a,3a)到直线x-y+m=0的距离d=
|-2a+m|


2

∵直线L是圆心C的切线,
∴d=r,即
|m-2a|


2
=2


a
|m-2a|=2


2a

∴m=2a±2


2a

∵直线L是圆心C下方,
∴m=2a-2


2a

∵a∈(0,4],
∴当a=时,mmin=-1;  当a=4时,mmax=8-4


2

故实数m的取值范围是[-1,8-4


2
]
举一反三
已知直线l:3x-4y+2=0与圆C:(x-4)2+(y-0)2=p,则直线l与圆C的位置关系是(  )
A.l与C相切
B.l与C相交且过C的圆心
C.l与C相离
D.l与C相交且不过C的圆心
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设M点是圆C:x2+(y-4)2=4上的动点,过点M作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,切线MA,MB分别交x轴于D,E两点.是否存在点M,使得线段DE被圆C在点M处的切线平分?若存在,求出点M的纵坐标;若不存在,说明理由.
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直线x+y=1与圆x2+y2-4x-10y+13=0的位置关系为______(填相交,相切,相离之一)
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圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线y=-x+6对称的圆的方程是(  )
A.(x+10)2+(y+3)2=1B.(x-10)2+(y-3)2=1
C.(x-3)2+(y+10)2=1D.(x-3)2+(y-10)2=1
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直线l:3x+4y+15=0被圆x2+y2=25截得的弦长为(  )
A.2B.4C.6D.8
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