已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,2),且过点A(1,2),过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C.(1)求椭圆的标准方程;(2
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已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,2),且过点A(1,2),过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C.(1)求椭圆的标准方程;(2
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点的椭圆的一个焦点为(0,
2
),且过点
A(1,
2
)
,过A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:直线BC的斜率为定值,并求这个定值.
(3)求三角形ABC的面积最大值.
答案
(1)由题意可知c=
2
,由椭圆的定义求出a=2,所以b=
2
,所以椭圆的方程为:
x
2
2
+
y
2
4
=1
(2)由题意得设AB的斜率为k,则AC的斜率为-k
所以
y-
2
=k(x-1)
2
x
2
+
y
2
=4
代入得
x
1
+
x
2
=
2
k
2
-2
2
k
2+
k
2
,
又∵x
1
=1∴
x
B
=
k
2
-2
2
k-2
k
2
+2
同理
x
C
=
k
2
+2
2
k-2
k
2
+2
,
k
BC
=
y
B
-
y
C
x
B
-
x
C
=
k
x
B
-k+
2
+k
x
C
-k-
2
x
B
-
x
C
=
2
为定值
(3)设BC方程为
y=
2
x+m
y=
2
x+m
x
2
2
+
y
2
4
=1
得
4
x
2
+2
2
mx+
m
2
-4=0
得
|BC|=
3
.
4-
1
2
m
2
A到BC的距离为
d=
|m|
3
所以
S
△
=
1
2
|BC|•d=
1
2
|m|
4-
1
2
m
2
=
1
2
m
2
(4-
1
2
m
2
)
=
2
4
m
2
(8-
m
2
)
≤
2
当m
2
=8-m
2
时,即m
2
=4时“=”成立,此时△>0成立.
举一反三
已知椭圆长轴长是短轴长的3倍且经过点P(3,0),则该椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=-16x的焦点为F
1
,准线与x轴的交点为F
2
,在直线l:x+y-8=0上找一点M,求以F
1
,F
2
为焦点,经过点M且长轴最短的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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已知a=4,b=2,且焦点在x轴上的椭圆标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
上一点A到左焦点的距离为
,则点A到直线
x=
距离为( )
A.2
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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离心率
,长轴长为6的椭圆的标准方程是( )
A.
B.
或
C.
D.
或
题型:不详
难度:
|
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