已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.(I)求椭圆C1的方程.(Ⅱ)过点S(0,-1
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,并且直线y=x+b是抛物线C2:y2=4x的一条切线.(I)求椭圆C1的方程.(Ⅱ)过点S(0,-1
题型:许昌二模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,并且直线y=x+b是抛物线C
2
:y
2
=4x的一条切线.
(I)求椭圆C
1
的方程.
(Ⅱ)过点
S(0,-
1
3
)
的动直线l交椭圆C
1
于A、B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(I)由
y=x+b
y
2
=4x
得x
2
+(2b-4)x+b
2
=0
直线y=x+b是抛物线C
2
:y
2
=4x的一条切线.
所以△=0⇒b=1
e=
c
a
=
2
2
⇒a=
2
所以椭圆
C
1
:
x
2
2
+
y
2
=1
(5分)
(Ⅱ)当直线l与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为
x
2
+(y+
1
3
)
2
=(
4
3
)
2
当直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为x
2
+y
2
=1
所以两圆的切点为点(0,1)(8分)
所求的点T为点(0,1),证明如下.
当直线l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点(0,1)
当直线l与x轴不垂直时,可设直线l为:
y=kx-
1
3
由
y=kx-
1
3
x
2
2
+
y
2
=1
得(18k
2
+9)x
2
-12kx-16=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则
x
1
+
x
2
=
12k
18
k
2
+9
x
1
x
2
=
-16
18
k
2
+9
TA
•
TB
=
x
1
x
2
-
4
3
(
x
1
+
x
2
)+
16
9
=(1+
k
2
)
-16
18
k
2
+9
-
4
3
×
12k
18
k
2
+9
+
16
9
=0
所以
TA
⊥
TB
,即以AB为直径的圆过点(0,1)
所以存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T(13分)
举一反三
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点
A(3
2
,4)
,点
B(
10
,2
5
)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:x
2
+(y-5)
2
=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆的离心率等于
3
3
,且与双曲线
x
2
16
-
y
2
9
=1
有相同的焦距,则椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F
1
,F
2
,且
|
F
1
F
2
|=2
13
,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3:7.求这两条曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,左焦点F
1
(-2,0),过左焦点且垂直于长轴的弦长为
2
6
3
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过(-3,0)点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以线段A,B为直径的圆过椭圆的左焦点,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,且经过点M(-2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,连接MA,MB并延长交直线x=4于P,Q两点,设y
P
,y
Q
分别为点P,Q的纵坐标,且
1
y
1
+
1
y
2
=
1
y
P
+
1
y
Q
.求△ABM的面积.
题型:丰台区一模
难度:
|
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