已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,原点到过A(a,0),B(0,-b)两点的直线的距离是455.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线y
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,原点到过A(a,0),B(0,-b)两点的直线的距离是455.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线y
题型:东城区二模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
3
2
,原点到过A(a,0),B(0,-b)两点的直线的距离是
4
5
5
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线y=kx+1(k≠0)交椭圆于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的取值范围.
答案
(1)直线AB的方程为:bx-ay-ab=0
∵原点到过A(a,0),B(0,-b)两点的直线的距离是
4
5
5
.
∴
|ab|
b
2
+
a
2
=
4
5
5
∴
a
2
b
2
=
16
5
(
b
2
+
a
2
)
①
∵椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
3
2
,
∴
a
2
-
b
2
a
2
=
3
4
∴a
2
=4b
2
②
②代入①,可得b
2
=4,
∴a
2
=16
∴椭圆的方程为
x
2
16
+
y
2
4
=1
;
(2)由题意,B(0,-2)
设E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),由E,F在圆上,得x
1
2
+(y
1
+2)
2
=x
2
2
+(y
2
+2)
2
…③,
由E,F在直线y=kx+1得y
1
=kx
1
+1,y
2
=kx
2
+1,
代入③式,可得(1+k
2
)(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)+6k(x
1
-x
2
)=0,
因为E,F为直线上不同两点,所以x
1
≠x
2
,所以(1+k
2
)(x
1
+x
2
)+6k=0,
即x
1
+x
2
=
-
6k
1+
k
2
④
又由E,F在椭圆上,将y=kx+1代入
x
2
16
+
y
2
4
=1
,得(1+4k
2
)x
2
+8kx-12=0,
由根与系数的关系,x
1
+x
2
=
-
8k
1+4
k
2
…⑤,
将④⑤两式联立求解得k=0或k=±
2
4
举一反三
已知直线y=-x+1与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l:x-2y=0上.
(Ⅰ)求此椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x
2
+y
2
=4上,求此椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,离心率为
1
2
,左焦点F
1
到直线l:
x-
3
y-3=0
的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F
2
作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
题型:石景山区一模
难度:
|
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若方程
x
2
9-t
+
y
2
t-3
=1表示椭圆,则实数t的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-b),直线AF与椭圆的右准线交于点B,与椭圆的另一个交点为点C,若F恰好为线段AB的中点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若FC=
2
3
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k
1
,k
2
,求证:k
1
+k
2
为定值.
题型:朝阳区一模
难度:
|
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