设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为12,左焦点F1到直线l:x-3y-3=0的距离等于长半轴长.(I)求椭圆C
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为12,左焦点F1到直线l:x-3y-3=0的距离等于长半轴长.(I)求椭圆C
题型:石景山区一模
难度:
来源:
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,离心率为
1
2
,左焦点F
1
到直线l:
x-
3
y-3=0
的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F
2
作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围.
答案
(I)由已知
c
a
=
1
2
,可得F
1
(-
1
2
a,0),
由F
1
到直线l的距离为a,所以
|-
1
2
a-3|
2
=a
,
解得a=2,所以c=1,b
2
=a
2
-c
2
=3,得b=
3
,
所以所求椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(II)由(I)知F
2
(1,0),设直线l的方程为:y=k(x-1),
由
y=k(x-1)
x
2
4
+
y
2
3
=1
消去y得(3+4k
2
)x
2
-8k
2
x+4k
2
-12=0,
因为l过点F
2
,所以△>0恒成立,
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
则
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3+4
k
2
,y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
-2)=
-6k
3+4
k
2
,
所以MN中点(
4
k
2
3+4
k
2
,
-3k
3+4
k
2
),
当k=0时,MN为长轴,中点为原点,则m=0,
当k≠0时MN中垂线方程为y+
3k
3+4
k
2
=-
1
k
(x-
4
k
2
3+4
k
2
)
,
令y=0,得m=
k
2
3+4
k
2
=
1
3
k
2
+4
,
因为
3
k
2
>0
,所以
1
k
2
+4>4
,可得0<m<
1
4
,
综上可知实数m的取值范围是[0,
1
4
).
举一反三
若方程
x
2
9-t
+
y
2
t-3
=1表示椭圆,则实数t的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-b),直线AF与椭圆的右准线交于点B,与椭圆的另一个交点为点C,若F恰好为线段AB的中点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若FC=
2
3
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k
1
,k
2
,求证:k
1
+k
2
为定值.
题型:朝阳区一模
难度:
|
查看答案
若关于x,y的方程
x
2
1+k
-
y
2
k-1
=1
表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
A(-2,0),B(2,0),C(1,
3
2
)
三点
(1)求椭圆方程
(2)若此椭圆的左、右焦点F
1
、F
2
,过F
1
作直线L交椭圆于M、N两点,使之构成△MNF
2
证明:△MNF
2
的周长为定值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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