如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F

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如图，已知椭圆

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若FC=

，求椭圆的方程．

答案

解（1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c=

，…（2分）
即

，所以椭圆的离心率e=

…（4分）
（2）由（1）知a=

c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，
设C（x₀，x₀-c），因为点C在椭圆上，所以

x02

2c2

(x0-c)2

=1，…（6分）
即x02+2（x₀-c）²=2c²，
解得x₀=0（舍去），x₀=

c．
所以C为（

c，

c），…（8分）
因为FC=

，由两点距离公式可得（

c-c）²+（

c）²=

，
解得c²=2，所以a=2，b=

，
所以此椭圆的方程为

=1． …（10分）

举一反三

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(-

，0)，F2(

，0)，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

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若关于x，y的方程

1+k

k-1

=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围为______．

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已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2，0)，B(2，0)，C(1，

)三点
（1）求椭圆方程
（2）若此椭圆的左、右焦点F₁、F₂，过F₁作直线L交椭圆于M、N两点，使之构成△MNF₂证明：△MNF₂的周长为定值．

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若椭圆

=1(a＞b＞0)的离心率为

，焦点到对应准线的距离为8，则椭圆的标准方程为______．

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已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的离心率为

，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

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