如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-b),直线AF与椭圆的右准线交于点B,与椭圆的另一个交点为点C,若F
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如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-b),直线AF与椭圆的右准线交于点B,与椭圆的另一个交点为点C,若F
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),下顶点为A(0,-b),直线AF与椭圆的右准线交于点B,与椭圆的另一个交点为点C,若F恰好为线段AB的中点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若FC=
2
3
,求椭圆的方程.
答案
解(1)因为B在右准线上,且F恰好为线段AB的中点,所以2c=
a
2
c
,…(2分)
即
c
2
a
2
=
1
2
,所以椭圆的离心率e=
2
2
…(4分)
(2)由(1)知a=
2
c,b=c,所以直线AB的方程为y=x-c,
设C(x
0
,x
0
-c),因为点C在椭圆上,所以
x
0
2
2c
2
+
(x
0
-c)
2
c
2
=1,…(6分)
即
x
0
2
+2(x
0
-c)
2
=2c
2
,
解得x
0
=0(舍去),x
0
=
4
3
c.
所以C为(
4
3
c,
1
3
c),…(8分)
因为FC=
2
3
,由两点距离公式可得(
4
3
c-c)
2
+(
1
3
c)
2
=
4
9
,
解得c
2
=2,所以a=2,b=
2
,
所以此椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1. …(10分)
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k
1
,k
2
,求证:k
1
+k
2
为定值.
题型:朝阳区一模
难度:
|
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若关于x,y的方程
x
2
1+k
-
y
2
k-1
=1
表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
A(-2,0),B(2,0),C(1,
3
2
)
三点
(1)求椭圆方程
(2)若此椭圆的左、右焦点F
1
、F
2
,过F
1
作直线L交椭圆于M、N两点,使之构成△MNF
2
证明:△MNF
2
的周长为定值.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
3
,焦点到对应准线的距离为8,则椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率为
1
2
,F
1
、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF
1
为半径作圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF
1
F
2
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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