已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为12,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为12,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率为
1
2
,F
1
、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF
1
为半径作圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF
1
F
2
面积的最大值.
答案
(1)因为2c=2,且
c
a
=
1
2
,所以c=1,a=2.
所以b
2
=3.
所以椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(2)设点M的坐标为(x
0
,y
0
),
则
x
20
4
+
y
20
3
=1
.
因为F
1
(-1,0),
a
2
c
=4
,
所以直线l的方程为x=4.
由于圆M与l有公共点,
所以M到l的距离4-x
0
小于或等于圆的半径R.
因为R
2
=MF
1
2
=(x
0
+1)
2
+y
0
2
,
所以(4-x
0
)
2
≤(x
0
+1)
2
+y
0
2
,
即y
0
2
+10x
0
-15≥0.
又因为
y
20
=3(1-
x
20
4
)
,
所以
3-
3
x
20
4
+10
x
0
-15≥0
.
解得
4
3
≤
x
0
≤12
.又
x
20
4
+
y
20
3
=1
,∴
4
3
≤
x
0
<2
当
x
0
=
4
3
时,
|
y
0
|=
15
3
,
所以
(
S
△M
F
1
F
2
)
max
=
1
2
×2×
15
3
=
15
3
.
举一反三
已知椭圆的中心在坐标原点,椭圆的右焦点F
2
与抛物线y
2
=4x的焦点重合,且椭圆经过点P(
1,
3
2
).
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F
1
和右焦点F
2
,直线PQ的斜率为
3
2
,过点A且与AF
1
垂直的直线与x轴交于点B,△AF
1
B的外接圆为圆M.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线
l:3x+4y+
1
4
a
2
=0
与圆M相交于E,F两点,且
ME
•
MF
=-
1
2
a
2
,求椭圆方程;
(3)设点N(0,3)在椭圆C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于
6
2
,求椭圆C的短轴长的取值范围.
题型:湖南模拟
难度:
|
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曲线C是点M到定点F(2,0)的距离与到直线x=3距离之比为
6
3
的轨迹.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设F,F"为曲线C的两个焦点,直线l过点F且与曲线C交于A,B两点,求|F"A|•|F"B|的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个焦点F
1
(-2,0),右准线方程x=8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若M为右准线上一点,A为椭圆C的左顶点,连接AM交椭圆于点P,求
PM
AP
的取值范围;
(3)圆x
2
+(y-t)
2
=1上任一点为D,曲线C上任一点为E,如果线段DE长的最大值为
2
5
+1
,求t的值.
题型:不详
难度:
|
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如果方程
x
2
k-2
+
y
2
3-k
=1
表示椭圆,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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